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sábado, 27 de octubre de 2007 |
| Números al final del periodo |
Sí, vale, lo de ayer era una broma. :-) Pero lo cierto es que es uno de los recuerdos más vivos que tengo del profesor de matemáticas de COU, que nos enseñó esa "demostración" y a quien yo creí durante un tiempo a pesar de ser una locura.
Otra de las cosas felices que me dieron las matemáticas en aquella época, no sé si en COU o en algún año de BUP, fue mi descubrimiento —junto con Ignacio— de los números al final el periodo. Estábamos en lo alto del puente romano y, lo estoy viendo ahora, en un folio doblado de los que yo usaba para escribir todo le expuse el siguiente método para calcular pi (π), una de mis aficiones de entonces:
La idea del método era muy obvia: cuando más lados tenga un polígono regular inscrito en una circunferencia, la suma de la longitud de esos lados se irá aproximando, cada vez más, a la longitud de esa circunferencia.
Por ello, lo primero que hacemos es calcular la longitud de un lado para un polígono regular inscrito de n lados (en el dibujo, como dibujé entonces, un hexágono):
Sabemos que, si unimos cada vértice del polígono con el centro, tenemos n triangulitos (no lo he pintado en la figura de lo obvio que es).
Si los ángulos de un triángulo suman siempre 180º, tenemos que la suma de los ángulos de los n triangulitos es 180 n; y si le restamos los ángulos cuyo vértice es el centro de la circunferencia (angulos que suman 360º), tenemos que los ángulos que forman los lados del polígno suman 180 n - 360.
Como el polígono es regular, cada uno de sus ángulos mide lo mismo, por lo que concluimos, sin mirar a la Wikipedia, que el ángulo de un polígono vale:ángulo = ( 180 n - 360 ) / n = 2 a o lo que es lo mismo:a = ( 180 n - 360 ) / 2n = 90 - 180 / n
Si decimos que el lado del polígono mide L y el radio de la circunferencia mide 1, entonces: L / 2 = cos ( a ) = cos ( 90 - 180 / n )
L = 2· cos ( 90 - 180 / n )
y la suma de todos los lados será:n · L = 2 n · cos ( 90 - 180 / n )
Dado que nuestro polígono de muchos lados se acerca tanto a la circunferencia y esta tiene una longitud de 2π, nos encontramos con que, si n es muy grande, entonces 2 n · cos ( 90 - 180 / n ) se acercará a 2π, lo que, simplicando, nos da lo siguiente:π = n · cos ( 90 - 180 / n)
Esto quizá no sea muy útil en sí mismo, porque, si a lo bruto cambiamos n por infinito, tenemos:infinito · cos ( 90 - 0) = infinito · 0 = indeterminado Pero bueno, la gracia del tema es que teníamos el siguiente número:a = 90 - 180 / n
y para valores altos de n —por ejemplo, potencias de 10— tendríamos los siguientes valores de a :Si n = 100.000.000, entonces a = 89,9999982
Si n = 100.000.000.000.000, entonces a = 89,9999999999982 Esto me llevó a la generalización de que si n era una potencia infinita de 10, entonces a tendría la siguiente forma: _
a = 89,982
leído: 89,9 periodo y al final del periodo 82. He aquí me gran descubrimiento para las matemáticas: que en ocasiones había número después del periodo. 
Lo que no pensé entonces es que: _ _
cos ( 89,982 ) = 0,0π que suena tan elegante.
Wikipedia |
zarevitz | 13:58 ||  |
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Me acuerdo de la demostracion que me hiciste de la existencia de numeros "al final del periodo"... (sepa la audiencia que ese "junto a" significa "espacialmente al lado de", no que yo contribuyera al "descubrimiento" mas alla de ser un interlocutor socratico)
Siempre te admirare por aquello y siempre pienso que con tu vocacion para las disciplinas sociales (estilo derecho y esas cosas "feas") se desaprovecho un gran talento para las matematicas.
Cursos de matematicas mas tarde me di cuenta de que el concepto y forma de explicar los numeros al final del periodo era algo que tenia que ver con el calculo diferencial. Llegaste de forma independiente, con tu propia intuicion y razonamiento, a algo en cierto modo comparable a los descubrimientos de Newton y Leibniz.
Me acuerdo, cuando estudie la forma que tengo ahora de ver aquel
"fenomeno matematico". Si qieres te lo explico, para que lo veas como lo hago yo despues de mucho tiempo.
Lo primero es ver que cos(y=90º-x)=sen(x) y por otra parte, sen(x) ~ x cuando x es muy pequeno (esto se puede comprobar de muchas formas, pero resulta en nuestros dias trivial sabiendo que sen'(0)=1, la derivada del seno en 0 es igual a 1, o sea, lim(sen(x)/x)=1, x -> 0)
Por consiguiente, no hay que despreciar la expresion que dices que no es util, puesto que es general, ya que si x = K/n con K finito y con n infinito en el limite, entonces x es un infinitesimo, llamemoslo dx, y la formula se convierte en sen(dx)=dx, una expresion diferencial (!) por lo que n.sen(x) = K en los terminos anteriores.
Pero claro, y=90-dx es lo mismo que 89.9999... y al final del periodo la parte decimal de 1-dx. Y hete aqui que los numeros al final del periodo "ocurren" en el calculo diferencial.
Para poner en el mismo lenguaje lo ultimo que dices en tu post, sobre 0.0000...pi, ten en cuenta lo anterior y que 180◦ son pi radiantes, es decir, que en realidad cos(90º-180º/n) = sen(pi/n), en radianes. Por ello, n.sen(pi/n) -> pi cuando n tiende a infinito y, en grados, 90 - 180/n = 89.99999(y algo al final del periodo) = 90
cos(90º)=0
Interesante y emotivo.
Muchos abrazos,
Ignacio
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Muchas gracias, Ignacio. Eres un adulador y realmente no lo necesito para quererte tanto. La verdad es que la gran mayoría (por no decir la totalidad) de las ideas que me eran importantes en aquella época —desde nuestras grandes teorías a nuestros pequeños hallazgos— las conocí y desarrollé contigo. Por eso, no puedo decir con honestidad que este razonamiento, como los demás de entonces, incluso en los que discrepabas, lo construyese yo de forma independiente. Giving credit where credit is due.
En aquella ocasión, además, tuvimos nuestra "manzana", que fue la limitación de cifras en la pantalla de la calculadora: no podías utilizarla toda poniendo nueves, al final tenías que poner 82 para que al sacar el coseno te saliera algo parecido a pi. :-)
La rabia de haber estudiado "cosas feas" (para que lo entienda la audiencia: lo que generalmente llamamos Letras) es que te alejas irremediablemente de la otra rama. La barrera que tengo para entender tu comentario —y mucho más que este, cualquier cosa interesantemente avanzada de tu materia— es demasiado alta como pasar superarla sin un esfuerzo titánico. Tú puedes leer un libro de Historia, pero un historiador no puede leer un libro de Física.
Pero bueno, eso no ha sido barrera para lo demás. Seguramente para una profesión de amistad y de cariño te debería haber dedicado un post entero, pero me parece emotivo también ponerlo bajo este otro que es de los dos.
Y bueno, con esto pongo fin a la serie de posts preparatorios de mi visita del viernes a Londres. Tengo muchas ganas de verte.
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A mi, que a veces, me quedo imnotizado mirando la luna, otras veces, me gusta miraros al dedo...
En el paso:
a = ( 180 n - 360 ) / n = 90 - 180 / n
Sería:
a = ( 180 n - 360 ) / 2n = 90 - 180 / n
verdad?
Gracias por compartirlo conmigo chicos.
Si solo he llegado hasta aquí, es porque he mirado al dedo de gigantes :-DD
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Corregido. Si es que, cuando suficientes ojos...
Te diré que en aquel tiempo, además de programar mi famoso "tomavistas" para hacer iconos de Windows 95 (esto da para un post aparte; de cuando fui "ingeniero"), programaba también secuencias que se iban aproximando a pi y las dejaba funcionando toda la noche para ver hasta dónde llegaba. Mi favorita, esta: pi = 4 ( 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 ...). Como dice la Wikipedia, es un sistema poco eficiente, pero al fin y al cabo quien hacía las sumas y restas era el ordenador. :-) En cada paso, el acumulado se queda por debajo o por encima de pi (es decir, va corrigiendo el tiro con la suma o resta de números cada vez más pequeños), pero creo recordar que si en vez del acumulado le pedías al ordenador que te hiciera la media aritmética entre un paso y el anterior, la aproximación era relativamente buena.
En fin, cada día me doy cuenta de lo mayores que somos. Cada vez más sabios, espero, pero también con menos tiempo para genialidades.
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pero de qué vais? creeis que después de dejar de estudiar mates hace 20 años ahora me voy a poner a pensar?? suficiente tengo con calcular que colores tienen longitudes de onda complementarias para ponermelos mañana... de ahí no paso.
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Me acuerdo de la demostracion que me hiciste de la existencia de numeros "al final del periodo"... (sepa la audiencia que ese "junto a" significa "espacialmente al lado de", no que yo contribuyera al "descubrimiento" mas alla de ser un interlocutor socratico)
Siempre te admirare por aquello y siempre pienso que con tu vocacion para las disciplinas sociales (estilo derecho y esas cosas "feas") se desaprovecho un gran talento para las matematicas.
Cursos de matematicas mas tarde me di cuenta de que el concepto y forma de explicar los numeros al final del periodo era algo que tenia que ver con el calculo diferencial. Llegaste de forma independiente, con tu propia intuicion y razonamiento, a algo en cierto modo comparable a los descubrimientos de Newton y Leibniz.
Me acuerdo, cuando estudie la forma que tengo ahora de ver aquel
"fenomeno matematico". Si qieres te lo explico, para que lo veas como lo hago yo despues de mucho tiempo.
Lo primero es ver que cos(y=90º-x)=sen(x) y por otra parte, sen(x) ~ x cuando x es muy pequeno (esto se puede comprobar de muchas formas, pero resulta en nuestros dias trivial sabiendo que sen'(0)=1, la derivada del seno en 0 es igual a 1, o sea, lim(sen(x)/x)=1, x -> 0)
Por consiguiente, no hay que despreciar la expresion que dices que no es util, puesto que es general, ya que si x = K/n con K finito y con n infinito en el limite, entonces x es un infinitesimo, llamemoslo dx, y la formula se convierte en sen(dx)=dx, una expresion diferencial (!) por lo que n.sen(x) = K en los terminos anteriores.
Pero claro, y=90-dx es lo mismo que 89.9999... y al final del periodo la parte decimal de 1-dx. Y hete aqui que los numeros al final del periodo "ocurren" en el calculo diferencial.
Para poner en el mismo lenguaje lo ultimo que dices en tu post, sobre 0.0000...pi, ten en cuenta lo anterior y que 180◦ son pi radiantes, es decir, que en realidad cos(90º-180º/n) = sen(pi/n), en radianes. Por ello, n.sen(pi/n) -> pi cuando n tiende a infinito y, en grados, 90 - 180/n = 89.99999(y algo al final del periodo) = 90
cos(90º)=0
Interesante y emotivo.
Muchos abrazos,
Ignacio